Plus petit entier ayant 18 diviseurs - Corrigé

Énoncé

Déterminer le plus petit entier strictement  positif possédant exactement  \(18\) diviseurs positifs distincts.

Solution

On remarque que \(18=9 \times 2 = 3 \times 3 \times 2\) .

Pour trouver le plus petit entier strictement positif  \(n\) possédant exactement  \(18\) diviseurs positifs distincts, on peut utiliser :

• la décomposition de  \(n\)  en produit de facteurs premiers : 
  \(n=2^a \times 3^b \times 5^c \times 7^d \times ...\)  avec  \(a\) ,  \(b\) ,  \(c\) ,  \(d\) , ...  \(\in \mathbb{N}\)  ;
• le fait que le nombre de diviseurs de  \(n\)  est alors :
  \((a+1)(b+1)(c+1)(d+1)... = 18\) .
  

(Par exemple,  \(40=2^3 \times 3^0 \times 5^1\)  possède  \((3+1)(0+1)(1+1)=4 \times 1 \times 2=8\)  diviseurs.)

Comme  \(18=9 \times 2 = 3 \times 3 \times 2\) , et comme  \(18\)  ne peut pas s'écrire comme produit de quatre entiers positifs strictement supérieurs à \(1\) , ce plus petit entier  \(n\) peut avoir :

• un seul diviseur premier  \(2\) , 
  donc  \(n=2^a\)  avec  \(a+1=18\) , soit  \(a=17\)  ;
  
• deux diviseurs premiers  \(2\)  et  \(3\) , 
  donc \(n=2^a \times 3^b\)  avec  \((a+1)(b+1)=18=9 \times 2\) , 
  donc  \(a+1=9\)  et  \(b+1=2\) , soit  \(a=8\)  et  \(b=1\)  
  (prendre  \(a+1=2\)  et  \(b+1=9\)  donnerait évidemment un entier  \(n\) plus grand) ;
  
• trois diviseurs premiers  \(2\)  ;  \(3\)  et  \(5\) ,
  donc  \(n=2^a \times 3^b \times 5^c\)  avec  \((a+1)(b+1)(c+1)=18\) ,
  donc  \(a+1=3\) ,  \(b+1=3\)  et  \(c+1=2\) , soit  \(a=2\) ,  \(b=2\)  et  \(c=1\) .

L'entier  \(n\)  ne peut pas avoir de diviseur premier supérieur ou égal à  \(7\) , sinon sa décomposition en produit de facteurs premiers ne contiendrait pas l'un des nombres \(2\) ,  \(3\)  ou  \(5\) , et comme  \(7\)  est strictement supérieur à ces trois nombres, on obtiendrait un entier  \(n\)  strictement supérieur.

Par conséquent, le plus petit entier possédant \(18\) diviseurs positifs distincts est de la forme \(n=2^a \times 3^b \times 5^c\) avec :

• ou bien  \((a;b;c)=(17;0;0)\) , ce qui donne \(n=2^{17}=131~072\) ;
• ou bien  \((a;b;c)=(8;1;0)\) , ce qui donne \(n=2^{8} \times 3^1=768\) ;
• ou bien  \((a;b;c)=(2;2;1)\) , ce qui donne \(n=2^{2} \times 3^2 \times 5=180\) .

On conclut que le plus petit entier possédant \(18\) diviseurs positifs distincts est \(180\) .